لغز مساحة البرميل

 تلقى مصنع طلبية لصنع براميل أسطوانية سعتها 1 لتر مع طلاء مساحتها الخارجية كاملة، لكن الطلبية لم تُحدد أبعاد البراميل، طلب صاحب المصنع من مهندسيه تصميم البراميل بطريقة تستهلك أقل كمية من الطلاء الخارجي، بصيغة أخرى ماهي أبعاد الأسطوانة التي تُعطينا أقل مساحة خارجية ممكنة؟

لغز مساحة البرميل
 

إستعمل معادلة الحجم و المساحة


نرمز لإرتفاع الأسطوانة بـ "H" و نصف قطر قاعدتها ب "R"
حجم الأسطوانة V = مساعدة القاعدة  ¨x الإرتفاع
\[V = \pi R^{2}H = 1l ....(1)\]

مساحة الأسطوانةS = مساحة القاعدة × 2 + مساحة الجدار
\[S = 2\pi R^{2} + 2\pi RH ....(2)\]
 
نستخرج قيمة الإرتفاع في (1)  ونعوضه في (2)
\[S = 2\pi R^{2} + 2\pi R\frac{1}{\pi R^{2}}\]
S = 2\pi R^{2} + \frac{2}{R}
تكون قيمة هذه الدالة دنيا أو قصوى عندما يكون المشتق D يساوي صفر:
\[D = 4\pi R - \frac{2}{R^{2}} = 0\]
\[4\pi R = \frac{2}{R^{2}}\]
\[2\pi R^{^{3}}=1 ...(3)\]
\[R^{3}=\frac{1}{2\pi }\]
\[R=0.542dm = 5.42cm\]
 
من (1) و (3) :
\[\pi R^{2}H = 2\pi R^{3}\]
\[H=2R = 10.84cm\]

و للتأكد من أن الدالة في قيمتها الدنيا عندما يكون المشتق صفرا يجب أن يكون المشتق الثاني D2 موجبا:
\[D_{2} = 4\pi +\frac{4}{R^{3}}\]
وهو موجب في كل الحالات.
ومنه أبعاد الأسطوانة التي تعطينا أقل مساحة ممكنة هي : نصف قطر القاعدة = 5,42 سم ، الإرتفاع=10,84 سم

أضف تعليق

أحدث أقدم