لغز زمن تفريغ خزان الماء

 خزان ممتلىء بالماء مفتوح من الأعلى  و مزود بصنبور تفريغ في الأسفل، إذا كان الزمن اللازم لتفريغ نصف الخزان هو ساعة واحدة فما هو الزمن اللازم لتفريغ الخزان كاملا؟


إبحث عن قانون توريشيلي


حل هذا النوع من الألغاز لا يكون بإفتراض أن سرعة التدفق ثابتة بل هي متغيرة حسب تغير إرتفاع الماء داخل الخزان، و تعتبرهذه المسألة  مثالا رائعا للتكامل بين الرياضيات و الفيزياء ، ولحل هذه المسألة فنحن بحاجة لقانون توريشلي لتدفق السوائل.

حسب قانون توريشيلي فإن سرعة تدفق سائل تحت تأثير ثقله  تعطى بالمعادلة : 

\[v = \sqrt{2gh}\]

حيث :
v : سرعة التدفق (م\ثا)
g : تسارع الجاذبية الأرضية (م\ثا²)
h: إرتفاع السائل (م)

من جهة أخرى يمكن أن نعبر عن حجم الماء المتدفق خلال لحظة زمنية متناهية في الصغر dt:

Adh = adx  ...(1)
حيث :
A : المساحة العرضية للوعاء
a: مساحة فتحة التفريغ
dh: إنخفاض إرتفاع السائل في الوعاء خلال اللحظة الزمنية dt
dx:  المسافة التي قطعها السائل في فتحة الصنبور خلال اللحظة الزمنية dt

و بما أن سرعة التدفق تساوي تغير الإرتفاع على الزمن فإن سرعة التدفق من خلال فنحة الصنبور يمكن أن تكتب بالطريقة التالية:

\[ v = \frac{dx}{dt} = - \frac{Adh}{adt}...(2)\]

الإشارة السالبة في الصيغة السابقة دلالة على الإنخفاض في الإرتفاع حيث الإرتفاع الثاني دائما يكون أقل من الإرتفاع الأول.

من الصيغتين (1) و (2):

\[ \sqrt{2gh} = - \frac{Adh}{adt} \Rightarrow \]

\[ dt = \frac{-Adh}{a\sqrt{2gh}} \]

و هي معادلة لتغير الإرتفاع مقارنة بالزمن حيث المتغيرين الرئيسيين في المعادلة هما الزمن (t) و الإرتفاع (h)، و لتبسيط المعادلة نرمز لجميع الثوابت الأخرى بثابت واحد نسميه (k) لتصبح المعادلة كالتالي:

\[ dt = -k \frac{dh}{\sqrt{h}} \]

و لمعرفة الزمن اللازم T لتدفق السائل من إرتفاع H1 إلى إرتفاع H2 نقوم بحساب تكامل طرفي المعادلة ، الزمن من اللحظة 0 إلى اللحظة T، و الإرتفاع من H1 إلى H2:

\[ \int_{0}^{T}dt=-k\int_{H1}^{H2}\frac{dh}{\sqrt{h}} \]

\[ T=-k(2\sqrt{H2}-2\sqrt{H1}) \] 

\[ T = 2k(\sqrt{H1}-\sqrt{H2}) \]

 نعود إلى نص اللغز، في حالة تفريغ الخزان إلى النصف نعوض H2 بنصف H1 ثم نستخرج قيمة الثابت k حيث T1 هو زمن التفريغ للنصف و الذي يساوي ساعة واحدة.

\[ T1 = 2k \sqrt{H1}(1-\frac{1}{\sqrt{2}})\]

 \[ k=\frac{T1}{2\sqrt{H1}(1-\frac{1}{\sqrt{2}})} \]

أما في حالة تفريغ الخزان كاملا  فإننا نعوض H2 بصفر و k بالقيمة التي وجدناها سابقا:

\[ T2 = 2k(\sqrt{H1}-\sqrt{H2}) \]

\[ T2 = 2k\sqrt{H1} \]

\[ T2 = 2(\frac{T1}{2\sqrt{H1}(1-\frac{1}{\sqrt{2}})})\sqrt{H1} \]

 \[ T2 = T1 \frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}} \]

\[ T2 = 3.414 T1 \]

إذا عوضنا T1 بساعة واحدة سنجد أن T2 يقارب ثلاثة ساعات و 25 دقيقة.

يمكنك التأكد من النتيجة عمليا بملأ قارورة ماء بلاستيكية و عمل فتحة في الأسفل، قم بتشغيل عداد الوقت إلى غاية المنتصف، ثم أكمل إلى غاية تفريغ القارورة كاملة. 

 

إقرأ أيضا:

حساب زمن تفريغ خزان حسب قانون توريشيلي


أضف تعليق

أحدث أقدم